ELEMENTOS DE RELACIÓN También llamados nexos o enlaces Grupo de palabras que se distingue por establecer relaciones entre unidades sintácticas : Entre palabras, sintagmas u oraciones. Son las preposiciones , las conjunciones y los relativos
Preposiciones
- Elementos de relación invariables y átonos que preceden a un SN al que hacen funcionar como complemento de otra palabra:
- De un verbo (confía en ella)
- De un nombre (confianza en su lealtad)
- De un adjetivo (harto de tus manías)
- De un adverbio (cerca de aquí)
- Pueden funcionar también como término de preposición otros elementos,
- como pronombres (Viaja sin ella)
- u oraciones sustantivas (Se convenció de que nadie le diría nada)
- E incluso de adverbios (Va de listo)
Clases de preposiciones
- Preposiciones simples
- A, ante, bajo, con, contra, de, desde, en, entre, hacia, hasta, para, por, según, sin, sobre, tras
- Agrupaciones de preposiciones
- Por entre, para con
- Locuciones prepositivas
- (Construcciones formadas por un S Prep o un adverbio seguidos de una preposición que funcionan como una preposición)
- Al frente de, a favor de, al lado de, a causa de, a fin de, con relación a, junto a, encima de, debajo de, cerca de...

Conjunciones

Elementos de relación invariables y sin autonomía sintáctica

Simples

Y, e, ni, que, pues, como…

Locuciones conjuntivas

Secuencias formadas por un adverbio, una preposición o un participio seguidos de otra conjunción, generalmente que

Ya que, para que, dado que, a fin de que…

Según la función sintáctica :

Coordinantes enlazan unidades homogéneas (misma función sintáctica):

Y, e, ni, que, o, u; unos...otros; bien...bien…;ora, ora. Y las locuciones : sin embargo, no obstante

Subordinantes

Establecen una relación de dependencia entre dos oraciones. La conjunción que realiza además funciones de enlace en las perífrasis : (Tiene que salir)

La función de los elementos de relación es determinar la posición y las relaciones que existen entre las diferentes formas que intervienen en un diseño. Estos elementos de relación no siempre pueden ser ubicados a simple vista. Por ejemplo la posición y la dirección no son observados a simple vista sin tener en cuenta el diseño en su conjunto. Sin embargo hay otros que si pueden ser percibidos y sentidos, como el espacio y la gravedad.

La dirección en las formas tienen que ver en tanto en cuanto está en relación con el observador del diseño, también tiene influencia en este elemento el contenedor en el cual se encuentra el diseño (marco) y con la existencia o no de formas cercanas.

La posición no es un valor absoluto, sino que entra en relación con otros elementos de diseño o bien con el contenedor (marco) en el cual se encuentra inserto.

El espacio es inherente a la forma independientemente del tamaño de esta. Toda forma ocupa un espacio. También el espacio a parte de ocupado puede estar vacío, puede ser liso o tener una textura para de esta forma dar la sensación de profundidad.

La gravedad no es un entidad que se pueda medir objetivamente, ya que es un concepto psicológico. Es el observador del diseño el que otorga características de peso, estabilidad a los grupos de formas o formas que componen el diseño.

Los elementos prácticos de un diseño hacen referencia a la representación, el significado y la función. La representación proviene porque toda forma que induce a pensar en la naturaleza o algún artefacto hecho por el ser humano tiene esta cualidad. El significado existe cuando el diseño tienen como función la emisión de un mensaje. La función es el objeto práctico para el cual se ha creado el diseño, bien sea el simple deleite de su observación, la publicidad, representar algún objeto en el receptor.

Relación binaria

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En matemáticas, una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados, $(a,b)\in A \times B$ :^[1]

$R = \{ (a,b): \; a \in A \quad \land \quad b \in B \quad \land \quad R(a,b) = \mbox{cierto} \}$

Las proposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria $R\,$ :

$a \mathcal{R} b \qquad \mbox{o} \qquad R(a,b) \qquad \mbox{o bien} \qquad (a,b) \in R$

También puede expresarse:

$\mathcal{R} \; a \; b$

En notación polaca

Ejemplo

Dado el conjunto R de los números reales, definimos la relación binaria P (x,y) de los puntos del plano, tal que $y = 2 x 2 - 3 x + 5$ :

$P = \{ (x,y): \; (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; \land \; y = 2 x^2 - 3x +5 \}$

Partiendo del conjunto A de los automóviles de una localidad y P de las personas, podemos definir la relación binaria C Conduce, formada por cada automóvil a, y quien lo conduce p:

$C = \{(a,p): (a,p) \in A \times P \; \land \; a \; es \; un \; autom \acute{o} vil \; \land \; p \; es \; su \; conductor \}$

[editar] Diagrama índice

A modo de guía o diagrama índice del estudio de las relaciones binarias, podemos presentar el siguiente gráfico.

[editar] Conceptos previos

Antes de afrontar el estudio de las relaciones binaria, veamos algunos conceptos que es necesario conocer:

[editar] Par ordenado

Artículo principal: Par ordenado

Las partes de un par ordenado son:

Primer conjunto

Primer componente

Segundo conjunto

Segundo componente

Del siguiente par ordenado (a, b) podemos decir que:

a es el primer componente del primer conjunto y;

b como el segundo componente del segundo conjunto.

Matemáticamente esto se expresa:

$A \times B = \{(x,y) \; | \quad x \in A \quad \land \quad y \in B \}$

y se lee: El producto de A con B, es el conjunto de los pares ordenados (x,y) tales que x pertenece a A y y pertenece a B.

[editar] Producto cartesiano

Artículo principal: Producto cartesiano

$\begin{array}{|r|ccc|} \hline 5 & (1,5) & (4,5) & (6,5) \\ 3 & (1,3) & (4,3) & (6,3) \\ 2 & (1,2) & (4,2) & (6,2) \\ \hline A \times B & 1 & 4 & 6 \\ \hline \end{array}$

Definimos los conjuntos:

$A = \{1, 4, 6 \} \,$

$B = \{2, 3, 5 \} \,$

Obtenemos el producto cartesiano de A por B, colocando en una tabla los elementos del conjunto A en el eje horizontal y los de B en vertical, en la intersección colocamos los pares ordenados correspondientes, percatarse que en el par ordenado, en primer lugar se coloca el elemento de A, del eje horizontal y en segundo lugar el de B, del eje vertical.
La enumeración de los elementos, del conjunto de pares ordenados, seria el siguiente:

$A \times B = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (4,2), (4,3), (4,5), (6,2), (6,3), (6,5) \} \,$

[editar] Relación binaria, subconjunto del producto cartesiano

Visto del producto cartesiano de A por B, podemos definir una relación binaria, por ejemplo: mayor que, que se puede expresar:

$R = \{(a,b) : \quad a \in A \quad \land \quad b \in B\ \quad \land \quad a > b \}$

que por extensión resulta:

$R = \{ (4,2), (4,3), (6,2), (6,3), (6,5) \} \,$

Donde los pares ordenados que definen la relación binaria son un subconjunto del producto cartesiano de los conjuntos.^[2]

$R \subset A \times B$

[editar] Clasificación

La importancia en matemáticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte de las asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numéricos como no numéricos, se hace de dos en dos elementos, tanto si son elementos de un único conjunto o de dos conjuntos distintos, en el esquema se puede ver algunas estructuras algebraicas o subtipos de relación binaria. Emplearemos este esquema para ver estos casos.
En primer lugar diferenciamos las relaciones binarias homogéneas de las heterogéneas, en las primeras la relación binaria se establece entre los elementos de un único conjunto, por lo que en realidad lo que determina es su estructura interna, mientras que en las segundas se establecen relaciones entre dos conjuntos distintos, lo que da lugar a operaciones o funciones matemáticas de cálculo, una relación homogénea puede ser tratada como heterogénea con los mismos subtipos, pero no al contrario.

[editar] Relación homogénea

Una relación binaria entre dos conjuntos se llama homogénea si estos dos conjuntos son iguales:

$R (a,b): \; (a,b)\in A \times B \quad \land \quad A = B$

Dado que A y B son el mismo conjunto, se suele representar:

$R (a,b): \; (a,b)\in A \times A$

O más comúnmente:

$R (a,b): \; (a,b)\in A^2$

[editar] Relación heterogénea

Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea si A es distinto de B:^[3]

$R (a,b): \; (a,b)\in A \times B \quad \land \quad A \ne B$ :

[editar] Relación binaria homogénea

Como ya se definió antes, una relación binaria homogénea es la que se da entre los elementos de un único conjunto, llamando A al conjunto, tendríamos:

$R (a,b): \; (a,b)\in A^2$

Si la Relación binaria es entre los elementos de un único conjunto, dado que los distintos tipos de relación que se pueden determinar entre sus elementos tomados de dos en dos, determina la estructura del conjunto, lo veremos con un ejemplo:

Dado el conjunto A:

$A = \{a, b, c, d \} \,$

y la relación entre los elementos de este conjunto, representada en la figura, se puede ver que solo hay un conjunto, el A y que la relación entre los elementos es interior al conjunto, en este caso representado por las flechas.

$R \subset A^2$

En este caso podemos decir, como enumeración de las relaciones entre los elementos del conjunto A.

$a \mathcal{R} b \quad b \mathcal{R} c \quad c \mathcal{R} d$

$d \mathcal{R} d \quad d \mathcal{R} b \quad b \mathcal{R} a$

o como conjunto de pares ordenados:

$R = \{ (a,b),(b,c),(c,d),(d,d),(d,b),(b,a) \} \,$

También podemos representar una relación binaria homogénea como una correspondencia de A sobre A:

$R: A \rightarrow A$

Tomando como conjunto inicial al conjunto A y como final también el conjunto A, nos permite asociar un elemento inicial a otro final dentro de un mismo conjunto, determinando una operación o función de cálculo y no una estructura interna, teniendo siempre en cuenta, que si bien el conjunto inicial y final son un mismo conjunto, la relación es unidireccional, y si el elemento a está relacionado con el b no implica, necesariamente, que el b lo este con el a.
En este caso el análisis de la relación binaria se hace según los distintos tipos de correspondencia con el mismo significado que en las relaciones heterogéneas
Representación de una relación binaria como subconjunto del producto cartesiano:
Dado el producto $A \times A$ de pares ordenados (x, y), donde x, y pertenecen a A, la relación binaria será el subconjunto de $A \times A$ que contiene todos los pares de elementos relacionados.

d	(a, d)	(b, d)	(c, d)	(d, d)
c	(a, c)	(b, c)	(c, c)	(d, c)
b	(a, b)	(b, b)	(c, b)	(d, b)
a	(a, a)	(b, a)	(c, a)	(d, a)
A×A	a	b	c	d

Si el producto $A \times A$ es:

$A \times A$	$= \{ \,$	$(a,a), \, (a,b), \, (a,c), \, (a,d),$
		$(b,a), \, (b,b), \, (b,c), \, (b,d),$
		$(c,a), \, (c,b), \, (c,c), \, (c,d),$
		$(d,a), \, (d,b), \, (d,c), \, (d,d)$	$\} \,$

el conjunto R de la relación binaria se representa:

$R = \{ ( a, b ), ( b, a ), ( b, c ), ( c, d ), ( d, b ), ( d, d ) \} \,$

Notese que en el eje horizontal se representa el conjunto inicial, y en el eje vertical el conjunto final.

[editar] Propiedades de las relaciones binarias homogénea

Una relación binaria puede tener ciertas propiedades, según los pares ordenados que formen parte de dicha relación o no formen parte de ella, veamos algunas:

[editar] Relación reflexiva

Artículo principal: Relación reflexiva

Una relación se llama reflexiva si todo elemento esta relacionado con sigo mismo, si no todos los elementos del conjunto están relacionados consigo mismo se dice que la relación no es reflexiva.

$\forall a \in A : \; (a,a) \in R$

Para todo elemento a que pertenezca al conjunto A, el par ordenado (a,a) pertenece a la relación binaria R.
Téngase en cuenta que debe cumplirse para todos los elementos del conjunto sin excepción, si esta propiedad solo se da en algunos casos la relación no es reflexiva:

$\nexists a \in A : \; (a,a) \notin R$

No existe ningún elemento a en A, para el que el par ordenado (a,a) no pertenezca a la relación R. Puede verse que estas dos afirmaciones son iguales.

[editar] Relación irreflexiva

Artículo principal: Relación irreflexiva

Una relación binaria es irreflexiva, también llamada: antirreflexiva o antirrefleja, si ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo:

$\forall a \in A : \; (a,a) \notin R$

Que también puede expresarse

$\nexists a \in A : \; (a,a) \in R$

No existe ningún elemento a en el conjunto A que cumpla que: (a,a) pertenezca a R.

[editar] Relación simétrica

Artículo principal: Relación simétrica

Una relación binaria es simétrica, si se cumple que un par ordenado (a,b) pertenece a la relación entonces el par (b,a) también pertenece a esa relación:

$\forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \longrightarrow \quad (b,a) \in R$

Para todo par ordenado (a,b) que pertenezca a R, implica que el par (b,a) también pertenece a R, téngase en cuenta que si el par (a,b) no pertenece a la relación el par (b,a) tampoco tiene que pertenecer a esa relación:

$\nexists a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \notin R$

No existe ningún par ordenado (a,b) que pertenezca a R y que el par (b,a) no pertenezca a R.

[editar] Relación antisimétrica

Artículo principal: Relación antisimétrica

Una relación binaria se dice que es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación entonces a = b:

$\forall a,b \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad a = b$

Dicho de otra manera, no existen los elementos a, b distintos, y que a este relacionado con b y b este relacionado con a

$\nexists a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \quad \land \quad a \ne b$

[editar] Relación transitiva

Artículo principal: Relación transitiva

Una relación binaria es transitiva cuando, dado los elementos a, b, c del conjunto, si a esta relacionado con b y b esta relacionado con c, entonces a esta relacionado con c:

$\forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad (a,c) \in R$

[editar] Relación total

Artículo principal: Relación total

Una relación binaria se dice que es total: si para todo elemento del conjunto: a, b; o a esta relacionado con b ó b esta relacionado con a, esto es el grafo de la relación es conexo:

$\forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \lor \quad (b,a) \in R$

[editar] Clases de las relaciones binarias homogénea

Partiendo de las propiedades que una relación binaria homogéneas puede tener, se pueden diferenciar algunas por su especial interés:

[editar] Relación no reflexiva

Los casos más estudiados de relaciones binarias homogéneas son las que cumplen la propiedad reflexiva, una relación que no cumple la propiedad reflexiva es no reflexiva, un caso particular de relación no reflexiva son las irreflexivas en las que ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo, puede verse que si en una relación binaria algunos elementos están relacionados consigo mismo y otros no la relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva. Ver diagrama:

$\mbox{Relaciones homogéneas} \begin{cases} \mbox{reflexivas} \\ \mbox{no reflexivas} \begin{cases} \mbox{irreflexivas}\\ \mbox{no reflexivas y no irreflexivas} \end{cases}\\ \end{cases}$

Las relaciones irreflexivas es un caso de las no reflexivas.

[editar] Relación reflexiva

La propiedad reflexiva de una relación binaria es el inicio para los casos más elaborados, téngase en cuenta que las relaciones binarias no reflexivas y las irreflexivas son casos muy particulares muy poco estudiados, por su poca importancia en los casos más generales.
Las relaciones reflexivas son las definidas así:

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

$R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \}$
Se dice que esta relación binaria es relación reflexiva, si cumple: 1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo.
$\forall a \in A : \; (a,a) \in R$

El caso más claro de propiedad reflexiva es la de igualdad, así dado un conjunto de números, los naturales por ejemplo, y la propiedad de igualdad entre números, tenemos que todo número natural es igual a sí mismo.

[editar] Relación de dependencia

Artículo principal: Relación de dependencia

Una relación binaria es una relación de dependencia si es reflexiva y simetrica:

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

$R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \}$
Se dice que esta relación binaria es relación de dependencia, si cumple: 1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva, si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo.
$\forall a \in A : \; (a,a) \in R$
2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica, si un elemento a esta relacionado con otro b, entonces el b también esta relacionado con el a.

$\forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \longrightarrow \quad (b,a) \in R$

Así por ejemplo si consideramos el conjunto de los números naturales, y definimos la distancia D entre dos números, como el valor absoluto de su diferencia:

$\forall a, b \in \N : \; D= | a-b|$

y decimos que dos números naturales a, b están próximos si su distancia es a lo sumo un valor D conocido, tenemos que la relación binaria de proximidad es:

$(a, b) \in R : \; (a, b) \in \N^2 \quad \land \quad |a-b| \le D$

es una relación de dependencia, dado que es reflexiva:

$\forall a \in \N : \; |a-a| \le D$

es simetrica:

$\forall a, b \in \N : \; |a-b| \le D \quad \longrightarrow \quad |b-a| \le D$

relación binaria de proximidad no es transitiva, dado que:

$\forall a, b, c \in \N : \; \Big ( |a-b| \le D \quad \land \quad |b-c| \le D \Big ) \quad \nrightarrow \quad |a-c| \le D$

que la distancia entre a y b sea a lo sumo D y que la distancia entre b y c no supere D, no implica necesariamente que la distancia entre a y c no sea mayor que D. Esta relación de dependencia entre los números por su distancia no es una clase de equivalencia, pero si denota una dependencia entre ellos.

[editar] Conjunto preordenado

Artículo principal: Conjunto preordenado

Una relación binaria define un conjunto preordenado si es reflexiva y transitiva:

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

$R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \}$
Se dice que esta relación binaria define un conjunto preordenado, si cumple: 1.- Relación binaria reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo.
$\forall a \in A : \; (a,a) \in R$
2.- Relación binaria transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.

$\forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R$

[editar] Relación de equivalencia

Artículo principal: Relación de equivalencia

Una relación binaria es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva:^[4]

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

$R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \}$
Se dice que esta relación binaria es relación de equivalencia, si cumple: 1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo.
$\forall a \in A : \; (a,a) \in R$
2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica si un elemento a esta relacionado con otro b, entonces el b también esta relacionado con el a.

$\forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \longrightarrow \quad (b,a) \in R$
3.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.

$\forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R$

Una relación de equivalencia define dentro del conjunto A lo que se denominan, Clases de equivalencia, una clase de equivalencia o familia de elementos es cada uno de los subconjuntos en que la relación de equivalencia divide al conjunto A, entre ellos son disjuntos, y la unión de todos ellos es el conjunto A, veamos un ejemplo.
En Aritmética modular se define la operación modulo como el resto de la división, así:

$5 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 2 = 1$

$6 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 3 = 0$

$7 \mathit{\; M \acute{o} d \;} 3 = 1$

el resto de dividir 5 entre 2 es 1

el resto de dividir 6 entre 3 es 0

el resto de dividir 7 entre 3 es 1

se dice que dos números son congruentes modulo n, si al dividir cada uno de esos números por n dan el mismo resto:

$8 \equiv 17 \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} 3)$

el 8 y el 17 son congruentes modulo 3 dado que al dividirlos por 3 en los dos casos dan por resto 2.
La congruencia modular de grado n, de los números naturales, es una Relación de equivalencia, dado que es reflexiva:

$\forall a \in \N : \; a \equiv a \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)$

es simétrica:

$\forall a, b \in \N : \; a \equiv b \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n) \longrightarrow \quad b \equiv a \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)$

y es transitiva

$\forall a, b, c \in \N : \; \Big ( a \equiv b \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n) \quad \land \quad b \equiv c \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n) \Big ) \longrightarrow$

$\longrightarrow \quad a \equiv c \quad ( \mathit{ M \acute{o} d \;} n)$

[editar] Conjunto parcialmente ordenado

Artículo principal: Conjunto parcialmente ordenado

Un conjunto A se dice que esta parcialmente ordenado respecto a una relación binaria R si la relación R es reflexiva, transitiva y antisimétrica:

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

$R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \}$
Se dice que esta relación binaria define un conjunto parcialmente ordenado, si cumple: 1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo.
$\forall a \in A : \; (a,a) \in R$
2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.

$\forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R$
3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.

$\forall a,b \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \Big ) \longrightarrow \quad a = b$

Tomando un conjunto A, formado, por ejemplo, por los elementos:

$A = \{ a, b, c \} \;$

Definimos el Conjunto potencia de A como el formado por todos los subconjuntos de A:

$P (A) = \Big\{ \{\}, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{a,b,c \} \Big\}$

A cada uno de estos subconjuntos los llamamos:

$A_1 = \{ \} \;$

$A_2 = \{a\} \;$

$A_3 = \{b\} \;$

$A_4 = \{c\} \;$

$A_5 = \{a, b\} \;$

$A_6 = \{a, c\} \;$

$A_7 = \{b, c\} \;$

$A_8 = \{a, b, c\} \;$

Y tomando dos de estos subconjuntos decimos que están relacionados por pertenencia si el primero es Subconjunto del segundo:

$R = \Big\{ (A_i , A_j )\in \; P (A) : \quad A_i \subset A_j \Big\}$

La relacion pertenencia entre los conjuntos potencia de A, es un conjunto parcialmente ordenado, al ser reflexiva:

$\forall A_i \in P (A) : \; A_i \subset A_i$

Transitiva:

$\forall A_i, A_j, A_k \in P (A) : \; \Big ( A_i \subset A_j \quad \land \quad A_j \subset A_k \Big ) \longrightarrow \quad A_i \subset A_k$

Antisimetrica:

$\forall A_i, A_j \in P (A) : \; \Big ( A_i \subset A_j \quad \land \quad A_j \subset A_i \Big ) \longrightarrow \quad A_i = A_j$

Por lo que el conjunto de las partes de A, respecto a la relación binaria pertenencia es un conjunto parcialmente ordenado.
Esta relación no es total dado que:

$\neg\forall (A_i, A_j) \in P (A) : \; A_i \subset A_j \quad \lor \quad A_j \subset A_i$

Que se denominan no comparables, los pares de conjuntos no comparables son:

$\Big( \{a\}, \{b\} \Big) \notin R ,\quad \{a\} \not\subset \{b\}$
$\Big( \{a\}, \{c\} \Big) \notin R ,\quad \{a\} \not\subset \{c\}$
$\Big( \{b\}, \{c\} \Big) \notin R ,\quad \{b\} \not\subset \{c\}$
$\Big( \{a\}, \{b, c\} \Big) \notin R ,\quad \{a\} \not\subset \{b, c\}$
$\Big( \{b\}, \{a, c\} \Big) \notin R ,\quad \{b\} \not\subset \{a, c\}$
$\Big( \{c\}, \{a, b\} \Big) \notin R ,\quad \{c\} \not\subset \{a, b\}$
$\Big( \{a, b\}, \{a, c\} \Big) \notin R ,\quad \{a, b\} \not\subset \{a, c\}$
$\Big( \{a, b\}, \{b, c\} \Big) \notin R ,\quad \{a, b\} \not\subset \{b, c\}$
$\Big( \{a, c\}, \{b, c\} \Big) \notin R ,\quad \{a, c\} \not\subset \{b, c\}$

A la vista del diagrama, los conjuntos que se pueden alcanzar siguiendo el sentido de las flechas se denominan comparables y determinan la estructura del orden parcial.

[editar] Orden total

Artículo principal: Orden total

Un conjunto A se dice que esta totalmente ordenado respecto a una relación binaria R si la relación R es reflexiva, transitiva, antisimétrica y total:

Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos

$R = \{ (a,b)\in \; A^2 : \quad R(a,b) \}$
Se dice que esta relación binaria define un orden total, si cumple: 1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado consigo mismo.
$\forall a \in A : \; (a,a) \in R$
2.- Relación transitiva: la relación R es transitiva si un elemento a esta relacionado con otro b, y este b con otro c, entonces el elemento a esta también relacionado con el c.

$\forall a, b, c \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,c) \in R \Big ) \longrightarrow \quad (a,c) \in R$
3.- Relación antisimétrica: la relación R es antisimétrica si los pares ordenado (a,b) y (b,a) pertenecen a la relación R , entonces a y b son iguales.

$\forall a,b \in A : \; \Big ( (a,b) \in R \quad \land \quad (b,a) \in R \Big ) \longrightarrow \quad a = b$
4.- Relación total: la relación R es total si para cualquiera dos elemento del conjunto: a, b; o a esta relacionado con b ó bien b esta relacionado con a.

$\forall a, b \in A : \; (a,b) \in R \quad \lor \quad (b,a) \in R$

Si tomamos el conjunto de los números enteros Z, por ejemplo, respecto a la relación binaria entre sus elementos menor o igual, podemos ver que es reflexiva:

$\forall a \in \Z : \; a \le a$

es transitiva:

$\forall a, b, c \in \Z : \; \Big ( a \le b \quad \land \quad b \le c \Big ) \longrightarrow \quad a \le c$

es antisimetrica:

$\forall a,b \in \Z : \; \Big ( a \le b \quad \land \quad b \le a \Big ) \longrightarrow \quad a = b$

y es total:

$\forall a, b \in \Z : \; a \le b \quad \lor \quad b \le a$

[editar] Relación binaria heterogénea

Artículo principal: Correspondencia matemática

Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea cuando A es distinto de B:

$R (a,b): \; (a,b) \in A \times B \quad \land \quad A \ne B$

Lo que también se llama correspondencia matemática.^[5]
A la derecha podemos ver lo que se denomina un diagrama sagital, en el cual se representan los dos conjuntos de la relación binaria, asociando los elementos de uno y otro conjunto con una flecha, que sale del elemento origen y llega al elemento imagen, en el diagrama pueden verse un conjunto de pinceles con pintura de color y un conjunto de caras pintadas, asociando a cada pincel la cara que esta pintada del mismo color.

Puede haber pinceles o caras del mismo color, pero deben ser considerados como elementos distintos del conjunto, si dos pinceles o dos caras son del mismo color tienen la misma característica color, siendo elementos del conjunto diferentes.
En el diagrama podemos ver el conjunto inicial de pinceles P, sobre el que esta definida la relación:

$P = \{ \,$

$\} \,$

Solo algunos elementos del conjunto origen tienen asociado un elemento, estos elementos forman el conjunto origen:

$O = \{ \,$

$\} \,$

Y el conjunto final de caras pintadas C es:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Los elementos del conjunto final a los que se les ha asociado un origen se llama conjunto imagen:

$I = \{ \,$

$\} \,$

La relación binaria es la formada por los pares ordenados:

$R =\, \{($

$) , \, ($

$) \}\,$

Una relación binaria homogénea:

$R (a,b): \; (a,b)\in A \times A$

Puede ser tratada como heterogénea considerando el conjunto inicial y final como distintos, si lo que se esta tratando es una correspondencia, con la misma validez que si los conjuntos serian distintos, pudiendo realizar simultáneamente su análisis como relación homogénea, si es factible.

[editar] Propiedades de las relaciones binarias heterogénea

Partiendo de una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

$R: A \rightarrow B$

Por su importancia podemos distinguir las siguientes condiciones, que nos permiten diferenciar los subtipos de correspondencias.

[editar] Condición de existencia de imagen. (ei)

La condición de existencia de imagen garantiza que tomando un elemento cualesquiera a de A tiene al menos una imagen b en B.

$\forall a \in A: \; \exists b \in B \quad \land \quad (a,b)\in R.$

para todo elemento a de A se cumple que existe al menos un b de B, a y b estén relacionado.
En la figura podemos ver el conjunto P de los pinceles:

$P = \{ \,$

$\} \,$

y el C de las caras pintada:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Si relacionamos cada pincel con la cara pintada del mismo color, podemos ver que todos los pinceles tienen al menos una cara asociada.

[editar] Condición de existencia de origen. (eo)

La condición de existencia de origen garantiza que todo elemento b de B tiene al menos un origen a en A.

$\forall b \in B: \; \exists a \in A \quad \land \quad (a,b)\in R.$

para todo b de B se cumple que existe un a en A y que a y b están relacionados.
Si vemos la figura podemos ver el conjunto P de pinceles con pintura:

$P = \{ \,$

$\} \,$

y el conjunto C de caras pintada:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Y que todas y cada una de las caras tiene al menos un pincel de su mismo color. Cada uno de los elementos del conjunto final tiene un origen.

[editar] Condición de unicidad de imagen. (ui)

La condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos a de A que están relacionados con algún b de B está relacionado con un único elemento b de B, es decir:

$\Big ( (a,b_1)\in R \quad \and \quad (a,b_2) \in R \Big ) \longrightarrow \quad b_1 = b_2.$

si un elemento a de A esta relacionado con dos elementos b de B esos dos elementos son iguales.
Condición de unicidad de imagen garantiza que los elementos que tienen imagen tengan una sola imagen, pero no garantiza que todos los elementos de A tengan imagen, esta diferencia es importante.
En el diagrama sagital de la derecha vemos el conjunto P:

$P = \{ \,$

$\} \,$

Y el conjunto final C, de caras pintada:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Los pinceles que tienen una cara relacionada, tienen una sola cara relacionada.

[editar] Condición de unicidad de origen. (uo)

La condición de unicidad de origen dice: que los elementos b de B que están relacionados con algún a de A está relacionado solo con un único elemento a de A, es decir:

$\Big ( (a_1,b)\in R \quad \and \quad (a_2,b) \in R \Big ) \longrightarrow \quad a_1 = a_2.$

En el diagrama tenemos el conjunto inicial P de pinceles con pintura de colores:

$P = \{ \,$

$\} \,$

y el conjunto final C de caras pintadas:

$C = \{ \,$

$\} \,$

Relacionando cada pincel con la cara de su mismo color, podemos ver que las caras que tienen un pincel relacionado, solo tienen un pincel relacionado, esto es un solo origen, no todas las caras tienen un origen, pero las que lo tienen, tienen un solo origen.

[editar] Galería de ejemplos

Según las cuatro condiciones espuertas, cada una de ellas independiente de las demás, podemos ver una serie de ejemplos ilustrativos de los casos que se pueden presentar.
Utilizaremos como conjunto inicial el conjunto de tubos de pintura T, y como conjunto final el de pinceles P, asociando cada tubo de pintura con el pincel del mismo color.

Correspondencia

Existencia imagen:	no
Unicidad imagen:	no
Existencia origen:	no
Unicidad origen:	no

Correspondencia

Existencia imagen:	si
Unicidad imagen:	no
Existencia origen:	no
Unicidad origen:	no

C. Unívoca

Existencia imagen:	no
Unicidad imagen:	si
Existencia origen:	no
Unicidad origen:	no

Aplicación

Existencia imagen:	si
Unicidad imagen:	si
Existencia origen:	no
Unicidad origen:	no

Correspondencia

Existencia imagen:	no
Unicidad imagen:	no
Existencia origen:	si
Unicidad origen:	no

Correspondencia

Existencia imagen:	si
Unicidad imagen:	no
Existencia origen:	si
Unicidad origen:	no

C. Unívoca

Existencia imagen:	no
Unicidad imagen:	si
Existencia origen:	si
Unicidad origen:	no

A. Sobreyectiva

Existencia imagen:	si
Unicidad imagen:	si
Existencia origen:	si
Unicidad origen:	no

Correspondencia

Existencia imagen:	no
Unicidad imagen:	no
Existencia origen:	no
Unicidad origen:	si

Correspondencia

Existencia imagen:	si
Unicidad imagen:	no
Existencia origen:	no
Unicidad origen:	si

C. Biunívoca

Existencia imagen:	no
Unicidad imagen:	si
Existencia origen:	no
Unicidad origen:	si

A. Inyectiva

Existencia imagen:	si
Unicidad imagen:	si
Existencia origen:	no
Unicidad origen:	si

Correspondencia

Existencia imagen:	no
Unicidad imagen:	no
Existencia origen:	si
Unicidad origen:	si

Correspondencia

Existencia imagen:	si
Unicidad imagen:	no
Existencia origen:	si
Unicidad origen:	si

C. Biunívoca

Existencia imagen:	no
Unicidad imagen:	si
Existencia origen:	si
Unicidad origen:	si

A. Biyectiva

Existencia imagen:	si
Unicidad imagen:	si
Existencia origen:	si
Unicidad origen:	si

[editar] Clases de las relaciones binarias heterogénea

Partiendo de las características de las relaciones binarias heterogéneas, podemos diferenciar los siguientes casos.

[editar] Correspondencia unívoca

Artículo principal: Correspondencia unívoca

Una correspondencia es unívoca si cumple la condición de unicidad de imagen:

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

$R: A \rightarrow B$
Esta relación es una correspondencia unívoca, si cumple: 1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:
$\Big ( (a,b_1)\in R \quad \and \quad (a,b_2) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad b_1 = b_2.$

Esta condición en necesaria y suficiente para que una correspondencia sea considerada unívoca.

[editar] Correspondencia biunívoca

Artículo principal: Correspondencia biunívoca

Una correspondencia es biunívoca si cumple las condiciones de unicidad de imagen y unicidad de origen:

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

$R: A \rightarrow B$
Esta relación es una correspondencia biunívoca, si cumple: 1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:
$\Big ( (a,b_1)\in R \quad \and \quad (a,b_2) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad b_1 = b_2.$
2.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origen si los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:

$\Big ( (a_1,b)\in R \quad \and \quad (a_2,b) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad a_1 = a_2.$

[editar] Aplicación

Artículo principal: Aplicación matemática

Una correspondencia se denomina aplicación^[6] si cumple la condición de unicidad de imagen y de existencia de imagen.

El término función se suele utilizar cuando los conjuntos inicial y final son numéricos.^[7]

Una función es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades.^[8]

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

$R: A \rightarrow B$
Esta relación es una aplicación, si cumple: 1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:
$\Big ( (a,b_1)\in R \quad \and \quad (a,b_2) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad b_1 = b_2.$
2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:

$\forall a \in A: \; \exists b \in B \quad \land \quad (a,b)\in R.$

Si una correspondencia cumple estas dos condiciones se denomina aplicación.

[editar] Aplicación inyectiva

Artículo principal: Aplicación inyectiva

Una correspondencia es una aplicación inyectiva si cumple la condición de unicidad de imagen, existencia de imagen y unicidad de origen.

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

$R: A \rightarrow B$
Esta relación es una aplicación inyectiva, si cumple: 1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:
$\Big ( (a,b_1)\in R \quad \and \quad (a,b_2) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad b_1 = b_2.$
2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:

$\forall a \in A: \; \exists b \in B \quad \land \quad (a,b)\in R.$
3.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origen si los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:

$\Big ( (a_1,b)\in R \quad \and \quad (a_2,b) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad a_1 = a_2.$

Como puede verse una aplicación que cumple la condición de unicidad de origen es una Aplicación inyectiva.
De otra forma no tan usual, podemos decir que una correspondencia biunívoca que cumpla la condición de existencia de imagen también es una aplicación inyectiva.

[editar] Aplicación sobreyectiva

Artículo principal: Aplicación sobreyectiva

Una correspondencia se llama Aplicación sobreyectiva si cumple la condición de unicidad de imagen, existencia de imagen y existencia de origen:

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

$R: A \rightarrow B$
Esta relación es una aplicación sobreyectiva, si cumple: 1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:
$\Big ( (a,b_1)\in R \quad \and \quad (a,b_2) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad b_1 = b_2.$
2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:

$\forall a \in A: \; \exists b \in B \quad \land \quad (a,b)\in R.$
3.- Existencia de origen: se dice que cumple la condición de existencia de origen si para todos los elementos b de B existe al menos un origen a en A:

$\forall b \in B: \; \exists a \in A \quad \land \quad (a,b)\in R.$

Se puede decir que una aplicación sobreyectiva, es una aplicación que cumple la condición de existencia de origen.

[editar] Aplicación biyectiva

Artículo principal: Aplicación biyectiva

Una correspondencia es una aplicación biyectiva si cumple las condiciones de unicidad de imagen, existencia de imagen, unicidad de origen y existencia de origen:

Dada una relación binarias heterogénea R, entre los conjunto A y B:

$R: A \rightarrow B$
Esta relación es una aplicación biyectiva, si cumple: 1.- Unicidad de imagen: se dice que cumple la condición de unicidad de imagen si los elementos a de A que tienen imagen, tienen una sola imagen:
$\Big ( (a,b_1)\in R \quad \and \quad (a,b_2) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad b_1 = b_2.$
2.- Existencia de imagen: se dice que cumple la condición de existencia de imagen si para todos los elementos a de A existe al menos una imagen b en B:

$\forall a \in A: \; \exists b \in B \quad \land \quad (a,b)\in R.$
3.- Unicidad de origen: se dice que cumple la condición de unicidad de origen si los elementos b de B que tienen origen, tienen un solo origen:

$\Big ( (a_1,b)\in R \quad \and \quad (a_2,b) \in R \Big ) \quad \longrightarrow \quad a_1 = a_2.$
4.- Existencia de origen: se dice que cumple la condición de existencia de origen si para todos los elementos b de B existe al menos un origen a en A:

$\forall b \in B: \; \exists a \in A \quad \land \quad (a,b)\in R.$

Una Aplicación es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.

[editar] Propiedades

Las relaciones binarias pueden tener o no estas propiedades. R será:

Relación simétrica	$\forall a,b\in A,\; (a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\in R$
Relación antisimétrica	$\forall a,b\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; a \neq b \Rightarrow (b,a) \notin R$
Relación reflexiva	$\forall a\in A,\; (a,a)\in R$
Relación irreflexiva	$\forall a\in A,\; (a,a)\notin R$
Relación transitiva	$\forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\in R$
Relación intransitiva	$\forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\notin R$
Relación circular	$\forall a,b,c\in A,\; (a,b)\in R \; \land \; (b,c)\in R \Rightarrow (c,a)\in R$
Relación total	$\forall a, b \in A: \quad a R b \quad \or \quad b R a$